Значения ? и ? могут быть рассчитаны для тел различной формы, обтекаемых потоками газа и жидкости. Так, в случае обтекания пластины ламинарным потоком толщина пограничного слоя определяется по уравнению

(5.20)
где D — коэффициент диффузии, м²/с; v — кинематическая вязкость жидкости, м²/с; х — расстояние от точки набегания потока жидкости на тело, м; U₀ — скорость набегающего потока, м/с.

Из уравнений типа (5.20) видно, что ? увеличивается с ростом D и расстояния от точки набегания потока жидкости на тело х. По этой причине коэффициент массопереноса ? = D/? и величина диффузионного потока на единицу поверхности i = ??С пропорциональны коэффициенту диффузии не в первой степени, как это предполагал Нернст, а в степени, меньшей единицы. Так, при обтекании пластины ламинарным потоком жидкости

(5.21)
а плотность диффузионного потока вблизи поверхности пластины

(5.22)
где ?С — разность концентраций в объеме жидкости и у поверхности пластины.

Теория конвективной диффузии, разработанная советскими физикохимиками, отличается от теории Нернста, основное содержание которой выражает уравнение скорости диффузионного растворения твердого тела в жидкости:

(5.23)

Здесь Q = — dM/d? — количество растворившегося твердого тела в жидкости в единицу времени, кг/с; D — коэффициент диффузии, м²/с; ? — толщина неперемешиваемого пограничного слоя, м; С_нас и C₀ — концентрации растворяющегося вещества вблизи поверхности твердого тела (концентрация насыщения) и в объеме жидкости соответственно, кг/м³; S — поверхность контакта твердого тела с жидкостью, м². Уравнение типа (5.23) впервые было получено А. Н. Щукаревым (1896 г.) на основе результатов проведенных им экспериментов.

Нернст (1904 г.) распространил закон Щукарева на все протекающие по законам диффузионной кинетики гетерогенные реакции, скорость которых определяется диффузией в неподвижном пограничном слое небольшой толщины (? ? 10^–2 — 10^–4 см). Диффузионный поток в этом слое обусловлен разностью концентраций диффундирующего вещества в жидкости вблизи поверхности другой фазы С_нас и в объеме жидкости C₀. Движение жидкости обеспечивает постоянство концентраций растворенных веществ во всем ее объеме за исключением границы раздела фаз. Концентрации изменяются от С_нас до C₀ по линейному закону лишь в пределах слоя толщиной ?. Этот слой назвали диффузионным слоем Нернста.

За последние 40 лет появились работы, показавшие, что даже на незначительном расстоянии (10^–5 см) от твердой стенки наблюдается движение жидкости, в связи с чем линейный закон распределения концентраций в пределах слоя ? и предположение Нернста о неподвижности жидкости в нем потеряли свое обоснование. Поэтому, не умаляя значения работ Нернста, следует отметить, что его теория конвективной диффузии является лишь удобной полуэмпирической математической моделью. Толщина неподвижного диффузионного слоя ? — чисто условная величина. Учитывая ее в уравнении (5.23) при линейном изменении концентраций в пределах пограничного слоя, можно получить расчетное значение диффузионного потока, равное экспериментальному.

В теоретических работах советских физикохимиков значения ? и ? не принимаются постоянными и определяются расчетным путем. Кроме гидродинамических факторов, как уже отмечалось, на ? влияет коэффициент диффузии, различный для каждого иона, атома, молекулы. Получается, что толщина диффузионного слоя неодинакова для различных частиц. Аналитические уравнения, полученные на основе теории тепло- и массопереноса и законов физико-химической гидродинамики, могут быть использованы для инженерных расчетов. Однако в некоторых случаях при подстановке в уравнения недостаточно точных исходных величин результаты расчетов могут отличаться от опытных данных больше, чем на один порядок. Так, например, при расчете полного диффузионного потока к поверхности пузырька при выделении газа из жидкости (или обратного потока при растворении пузырька) может быть использовано следующее уравнение:

(5.24)
где r — радиус пузырька; U — скорость его подъема.

Если в уравнение (5.24) подставить

(5.25)
где v_ж — кинематическая вязкость жидкости, получим чрезмерно завышенные (на два порядка) средние значения коэффициентов массопереноса:

(5.26)

Уравнение (5.25) применимо лишь для очень малых пузырьков (r ? 0,01 см). Для пузырьков сравнительно больших размеров (r ? 0,1 см) используется выражение

(5.27)
где ? и ?_? — поверхностное натяжение и динамическая вязкость жидкости; ? ? 30 — коэффициент сопротивления.

Подставив выражение (5.27) в уравнение (5.24), получим близкие к реальным значения диффузионных потоков, что позволяет более правильно оценить лимитирующее звено процесса обезуглероживания стали.

По данным ряда авторов, скорость всплывания пузырька зависит от его радиуса в степени 0,5. Ричардсон и сотрудники исследовали скорость всплывания пузырьков в жидком серебре при широком диапазоне изменения r. Применительно к жидкой стали получена формула

U = l,02(gr_B)1/2,
(5.28)
где r_B — базовый радиус пузырька (радиус основания «гриба»). Подставив значения U в уравнения (5.24) и (5.26), получим

(5.29)

При r = 0,1 и 1,0 см (D_[O] = 5 • 10^–5 см²/с) ?_[O] = 0,057 и 0,032 см/с соответственно.

Полученные расчетные значения ? (5.29) близки к реальным в широком диапазоне радиуса пузырька r. В этом случае результаты наиболее надежны, поскольку они определены на основе экспериментальных значений скорости всплывания U.

Рассмотрим еще один пример расчета диффузионного потока и коэффициента массопереноса. С. И. Попель и сотрудники вычислили плотность диффузионного потока кислорода через пограничный слой газ—шлак в мартеновской печи, использовав для этой цели решение диффузионной задачи о пластине, омываемой параллельным ей турбулентным потоком газа:

(5.30)
где Re = Ud_г/v — число Рейнольдса; d_г — гидравлический диаметр поперечного сечения потока. Расчетные данные были близки к опытным, полученным для 195-т мартеновской печи.

Ниже приведен выполненный нами расчет диффузионного потока кислорода для условий работы 900-т печи. При этом были уточнены исходные данные и учтен фактический профиль рабочего пространства печи (рис. 31).Если отношение высоты сегмента к ширине h/a = 1,250/10,03 = 0,124, то его площадь S = 0,084 а², а длина дуги l_д.с = 1,0406 а. Площадь профиля свободного рабочего пространства печи S_пp равна сумме площадей сегмента и трапеции [0,084 • 10,03² + 0,5 (6,5+ 10,03) • 3 =8,45 + 24,80 = 33,25 м²].

Рис. 31. Схема профиля свободного рабочего пространства 900-т
мартеновской печи (выше уровня порогов завалочных окон)

В период чистого кипения расход продуктов горения в 900-т печи V_п.г = 60 000 м³/ч (при нормальных условиях). Скорость движения продуктов горения в рабочем пространстве

Гидравлнческий диаметр рабочего пространства печи

где P_пp = 1,0406 • 10,03 + 3,04 + 6,50 + 4,24 = 24,22 м — периметр профиля свободного рабочего пространства. Число Рейнольдса

Режим течения — турбулентный, поэтому уравнение (5.30) вполне применимо для расчетов ? и i в условиях 900-т печи.

Определяем ?_O2, при D_O2 = 5,4 • 10^–4 м²/с и ? = 3,2 • 10^–4 м²/с:

Полученный результат хорошо согласуется с приведенными ниже экспериментальными данными (при математической обработке промышленных данных учтено изменение C_O2 вдоль рабочего пространства печи, что позволило точнее определить опытные значения ?_O2).

Рассчитаем диффузионный поток кислорода i_O2. Концентрация O₂ в печных газах

(5.31)

Для среднего значения [% O₂] = 3 средняя C_O2 = 0,006 кг/м³. Даже при значительном содержании окиси железа в шлаке содержание кислорода в равновесии со шлаком C_O2р.ш близко к нулю. Поэтому

i_O3 = ?_O2? C_O2 = 0,40 ? 0,006 = 0,0024 кг/ (м² • с) = 8,6 кг/ (м² х ч).

В период чистого кипения в 900-т печи скорость выгорания углерода v_C ? 0,1 %/ч = 5,6 кг/ (м² • ч) (при площади зеркала ванны 160 м²), что соответствует i_O2 = (5,6 • 16)/12 = 7,5 кг/(м² • ч).

Расчетные данные близки к опытным. Это свидетельствует о возможности применения уравнения (5.30) для определения массообмена при параллельном обтекании газом плоской поверхности.