В составленном автором уравнении, описывающем рост пузырька CO в ванне, учтены его форма (грибовидная), скорость всплывания и изменение ?[% О] в результате уменьшения давления металла при подъеме пузырька. Приведенные ниже математические выводы отличаются от ранее опубликованных (С. Л. Левиным, А. М. Левиным, Т. Г. Сабирзяновым, автором) тем, что объем, поверхность и радиус пузырька выражаются через массу n, кмоль, и давление. Это позволило получить сравнительно простое дифференциальное уравнение с разделяющимися переменными.

По результатам холодного и горячего моделирования определены основные параметры пузырька, имеющего форму шарового сегмента: отношение высоты к радиусу основания

h/r_в ? 0,6;
(6.33)
объем

V = 0,34?r_в³,
(6.34)
полная поверхность

S = 2,36?r_в².
(6.35)

Изменение массы пузырька за счет диффузии кислорода из объема металла через пограничный слой к поверхности пузырька и образования на этой поверхности CO определяется так:

(6.36)
где

(6.37)

P_CO = P_O + ?_мSH_м
(6.38)
— давление в пузырьке, Па; ?_[O] = D_[O]/?_[O] — коэффициент массопередачи кислорода, м/с; K_[C] — константа равновесия реакции [C] + [O] = (CO);D_[O] — коэффициент диффузии кислорода м²/с; ?_[O] — толщина пограничного слоя, м; ?_м — плотность металла, кг/м³; A_O = 16 кг/кмоль — атомная масса кислорода; P_O = 1,05 ? 10⁵Пa — давление атмосферы и слоя шлака; H_м — высота слоя металла над пузырьком, м.

В уравнении (6. 37) следует учитывать концентрацию кислорода у поверхности пузырька [% С]_р.п. Для этого необходимо решить квадратное уравнение, основанное на равенстве диффузионных потоков углерода и кислорода. При [% C] ? 0,3% погрешность расчета ? [% O] в случае замены [% С]_р.п содержанием углерода в объеме металла [% C] весьма мала.

По данным Ричардсона и сотрудников, скорость всплывания пузырька

U = 1,02 (gr_в)^1/2,
(6.39)
где g = 9 • 81 м/с² — ускорение свободного падения. За время dx пузырек пройдет расстояние dx = Ud? = —dH_м (рис. 42).

Так как dH_м = dP_CO/?_мg = —dx (6.38), то

(6.40)

Подставив в уравнение (6.36) значения S, ? [ % О] и dx соответственно из уравнений (6.35), (6.37) и (6.40), получим

Учитывая, что по формулу (6.34) r_в^3/4 = (V/0,34?3.14)^1/4 и V^1/4 = (nRT/P_CO)^1/3, получаем следующее дифференциальное уравнение о разделяющимися переменными:

(6.41)

После разделения переменных n и P_CO в уравнении (6.41) и интегрирования при начальном условии n = n_нач и P_CO = P_CO.нач = P_O + ?_мgH_mах получаем формулу для расчета массы пузырька:

(6.42)
где

(6.43)

(6.44)

Рис. 42. Изменение радиуса основания r_в и массы грибовидного пузырька n во время его всплывания в ванне глубиной H_max = 1 м (Р_CO,mах = 1,74 x 10⁶ Па)

Для расчетов по приведенным выше уравнениям необходимо знать ?_[O], [% O] при данном [% С] и начальную массу пузырька в момент его отрыва от подины n_нач.

По известному из физико-химической гидродинамики уравнению для расчета полного диффузионного потока на пузырек

(6.45)
находим

(6.46)

Принимая по формуле Ричардсона, основанной на результатах горячего моделирования, U = 1,02 (gr)^1/2, окончательно получаем

(6.47)

По данным различных исследователей, D_[O] в жидкой стали колеблется в пределах 5 • 10^–9 — 10^–8 м²/с. Расчеты по формуле (6.47) при указанных значениях D_[O] и изменениях радиуса пузырька r от 0,5 до 2,0 см дают величины ?_[O] = 3 • 10^–4 — 5 • 10^–4 м/с, что хорошо согласуется с результатами экспериментов Ричардсона и сотрудников на горячей модели и И. В. Белова и Е. В. Проколова — на холодной. В расчетах автора принято ?_[O] = 4 х 10^–4 м/с .

Содержание кислорода в кипящей ванне можно определить по формуле (6.17). При [% С] = 0,5 [% O] = 0,011%.

Начальный радиус пузырька в момент отрыва от подины можно рассчитать по уравнению, учитывающему равенство сил поверхностного натяжения и подъемной силы Архимеда:

(6.48)
где r_пор = (0,5 — 1,0) 10^–З м (данные А. Д. Крамарова) — радиус поры в подине; ? = 1,2 Па (для жидкой стали). При r_пор = 10^–3 м = 1 мм r_нач = 3 • 10^–3 м = 3 мм. Если известно r_нач, можно вычислить V_нач и n_нач = P_CO.начV_нач/RT. В приввдвнных ниже расчетах принято r_нач = 3 • 10^–3 м; n_нач = 3,22 • 10^–10 кмоль.

Результаты расчетов по уравнению (6.42) представлены на рис. 42. Пределы колебаний значений коэффициентов а и b, вычисленных по формулам (6.43) и (6.44), выбраны при построении кривых в соответствии с возможными в период чистого кипения мартеновской плавки изменениями ?_[O], [% С], [% О]. При построении кривых 1, 2, 3 рис. 42 взяты соответственно следующие значения коэффициентов: a = (3,5; 2,5; 1,5) • 10^–6 кмоль^1/2 /Па^1/2 и b = (13; 9; 5) х 10^–12 кмоль^1/2 /Па^1/2. Температура ванны принята равной 1873 К. Необходимые для расчетов значения P_CO определены по формуле

P_CO = P⁰_CO + ?_мgH = P₀ + ?_мg (H_{m ах} – х).
(6.49)

В левой части рис. 42 даны величины радиуса пузырька в зависимости от х при различных значениях коэффициентов а и b:

(6.50)

Расчетные базовые радиусы пузырьков на выходе из металла (при х = 1 м H_M = 0; P_CO = 1,05 • 10⁵ Па) составляют 10—16 мм, что соответствует реально наблюдаемым размерам пузырьков на поверхности ванны в период чистого (подового) кипения мартеновской плавки. Это подтверждает то, что внутри металлической ванны наиболее медленным звеном процесса обезуглероживания является диффузия кислорода к поверхности пузырьков и наблюдаемый перепад концентраций ?[% О] относится именно к указанному звену, а не к химической реакции. В противном случае расчетные значения массы и радиуса пузырька, полученные по уравнениям диффузии, намного превышали бы действительные.

По приросту массы пузырька видно (рис. 42), что в верхней половине ванны окисляется примерно 80% С, а в ее верхней трети — около 60% всего окисленного углерода.

Это свидетельствует о том, что даже при преимущественном зарождении пузырьков CO на подине главная масса углерода окисляется в верхних слоях ванны. Последнее обусловлено большей поверхностью пузырьков и повышенным диффузионным перепадом концентраций ?[% О] в подшлаковых слоях металла по сравнению с расположенными ниже.

Расчет радиуса пузырька можно значительно упростить, если в уравнение (6.36) ввести среднемассовые по глубине ванны величины ?[% O]_ср, Р_CO,ср и U_cp:

(6.51)

Подставив в уравнение (6.51) значения dV и S из выражений (6.34) и (6.35), после интегрирования получим

(6.52)
где

(6.53)
К = dr_в/d? — линейная скорость роста пузырька, м/с. Например, при ?_[O] = 4 • 10^–4 м/с; ?[% O]_cp = 0,007%; ?_м = 7000 кг/м³; Р_CO.ср = 1,3 ? 10⁵ Па; A_O = 16 кг/кмоль; R = 8313 Дж/ (К x кмоль); T = 1873 К коэффициент К = 3,4 • 10^–3 м/с.

Уравнение (6.52) позволяет также точно вычислить время роста пузырька на подине (от момента его зарождения до момента отрыва от подины). В этом случае ? [% О] и P_CO — величины постоянные и указанное время

(6.54)

Частота отрыва пузырьков от каждого активного центра

(6.55)
где ?r₀ — увеличение радиуса зародыша пузырька на подине к моменту его всплывания, м.

Базовый радиус, объем и поверхность всплывающего пузырька на различном расстоянии от подины рассчитаны по уравнению (6.52)) и показаны на рис. 43 (кривые 1, 2, и 3 соответствуют К = 5,1; 3,4; 1,7 мм/с). Температура ванны принята равной 1873 К; U_ср = 0,3 м/с; H_mах = 1 м; r₀ = 3 ? 10^–3 м. В зависимости от реально возможных колебаний К для периода чистого кипения величина r_в на выходе из ванны изменяется в пределах 9—20 мм, т. е. с определенной степенью точности расчеты можно производить и по простой формуле (6.52), выбрав правильно Р_CO.ср, ?[% O]_ср и U_cр.

Величину v_C, кг/(м²?с), в период чистого кипения можно ориентировочно определить по уравнению

(6.56)
где N_a.ц — число активных центров зарождения CO на подине, 1/м²; ?_отр.п — частота отрыва пузырьков от каждого активного центра, 1/с; V_п = 1,055 • r_в³ — объем грибовидного пузырька при выходе из металла, м³; ?_CO — плотность CO при выходе из металла, кг/м³.

Рис. 43. Изменение базового радиуса r_в, объема V и поверхности S грибовидного пузырька CO во время его всплывания в ванне

Автор на основе значений фактического секундного расхода CO в период чистого кипения, м³/(м²?с), конечного объема пузырька и вероятной частоты отрыва пузырьков от одного активного центра на подине рассчитал N_а.ц ? 1000 1/м² (это на один порядок больше, чем величина N_а.ц, принятая А. Рамаччиоти).

Приняв К = 5,1 • 10^–3 м/с; ?r₀ = 2 • 10^–3 м; ?_отр.п = K/?r₀ = 2,54 1/с; V_п = 8,4 • 10^–6 м³ (рис. 43, кривая /); ?_CO = 0,19 кг/м³ (при T = 1873 К и P_CO = 1,05 • 10⁵ Па), согласно уравнению (6.56) получим v_C = 1,72 • 10^–3 кг/ (м² • с). При H_м = 1 м масса металла M_м = 7000 кг/м² и v_C = 2,46 х 10^–5%/с = 0,09%/ч. Результаты ориентировочного расчета близки к значениям v_C в ваннах большегрузных печей в период чистого кипения. Так как были приняты весьма значительные величины N_а.ц и К, полученный результат вновь подтверждает, что процесс обезуглероживания металла контролируется диффузией кислорода.