При малых размерах твердых частиц (меньше 0,1 мм) диффузия в микрогетерогенных системах сильно интенсифицируется в результате увеличения поверхности контакта жидкости с частицами и коэффициента массопереноса. Если масса твердой фазы одинакова, суммарная поверхность частиц увеличивается обратно пропорционально их эффективному размеру. Для частицы сферической формы отношение ее поверхности к объему

а суммарная поверхность всех частиц

(5.76)
где S_i и V_i — поверхность и объем одной частицы; N — количество частиц; V_? и M — общий объем и общая масса частиц; d и r — диаметр и радиус частицы; ?_ТВ — плотность частицы.

При использовании, например, порошкообразной извести с частицами диаметром 0,1 мм их суммарная поверхность увеличивается по сравнению с поверхностью кусков извести (d = 10—100 мм) в 100—1000 раз. При одинаковых значениях коэффициента массопередачи ? и градиента концентраций ?C должны в такой же степени увеличиваться скорость растворения извести и роста концентрации окиси кальция в шлаке:

(5.77)
где (СаО)_нас и (CaO) — концентрации окиси кальция в шлаке соответственно у поверхности кусков извести (концентрация насыщения) и в остальной массе шлака; S — суммарная поверхность кусков извести, м²; V — объем шлака, м³.

Уравнение (5.77) впервые предложено автором для описания кинетики растворения извести в шлаке. Оно применимо в случаях, когда этот процесс лимитируется массопереносом окиси кальция. Если же содержание закиси железа в шлаке сравнительно невелико, то лимитирующей стадией процесса растворения извести становится и встречная диффузия FeO, обеспечивающая в конечном итоге увеличение (CaO)^наc и диффузионного потока CaO.

Дополнительное ускорение массопереноса при использовании порошкообразных материалов возможно за счет увеличения ? по мере уменьшения размера частиц d, если относительная скорость движения жидкой фазы U остается постоянной (5.71):

(5.78)

Так как m — n > 0; 1 — m > 0; 1 — n > 0; m > 0, то ? увеличивается с ростом коэффициента диффузии D, уменьшением кинематической вязкости v, увеличением относительной скорости потока U и уменьшением размера частицы d. При m = 0,5 уменьшение d в 100 раз приводит к увеличению ? в 10 раз. Однако при малых значениях d, которые равны определенным критическим размерам или меньше их, влияние абсолютной скорости потока жидкости и конвекции может быть резко ослаблено, так как мелкодисперсные частицы «витают» в потоке, движутся вместе с ним и относительная скорость потока по отношению к поверхности частицы гораздо меньше абсолютной.

Критический диаметр витающих частиц можно вычислить по формуле, выведенной из равенства архимедовой силы и силы сопротивления частицы движению потока жидкости:

(5.79)

Отсюда

(5.80)
где C_соп — коэффициент сопротивления; U_ж — скорость потока жидкости; ?_ТВ и ?_ж — плотность твердой частицы и жидкости; g — ускорение свободного падения. Если плотность частицы меньше плотности жидкости (движение частиц извести или графита в металле), то в знаменателе формулы (5.80) следует записать ?_ж — ?_ТВ, так как отрицательный критический диаметр не имеет физического смысла.

Элементарные расчеты показывают, что размеры частиц порошкообразных материалов (10^–2 — 10^–1 см) значительно меньше критических даже при сравнительно небольших скоростях конвективных потоков металла и шлака в сталеплавильной ванне (порядка 1 см/с). Поэтому такие частицы движутся вместе с потоком жидкой фазы.

Как показало интегрирование уравнения движения частицы в потоке жидкости, скорость обтекания частицы жидкостью весьма быстро достигает значения, мало отличающегося от величины скорости падения (подъема) частицы. Для определения критерия Рейнольдса при исследовании кинетики растворения взвешенных в движущейся жидкости частиц скорость их подъема можно рассчитать по уравнению (5.80):

(5.81)
где ?? — разность плотностей частицы и жидкости. При Re < 1 коэффициент сопротивления

(5.82)

Подставляя уравнение (5.82) в (5.81), получаем известную формулу Стокса:

(5.83)
где v и ? — кинематическая, м²/с, и динамическая, Па • с, вязкость жидкости.

Скорость подъема мелкодисперсных частиц при Re < 1 можно рассчитать по формуле Стокса, а более крупных частиц — по уравнению (5.81), подставляя в него значение C_соп. Так, при Re = 30—300

(5.84)
при Re > 500

C_соп = 0,44 = const.(5.85)

Для частиц малого размера, как это следует из формулы Стокса,

(5.86)

Критерий

(5.87)
получил название критерия Архимеда. Из уравнений (5.86) и (5.87) получаем

(5.88)

Для случая обтекания шара потоком жидкости со скоростью U Г. А. Аксельрудом экспериментально получены такие критериальные уравнения: при О < Re < 1

Nu = 1,075 Re^1/3Pr^1/3;
(5.89)
при 1 << Re < 10⁴

Nu = 0,8 Re^1/3 Pr^1/3.
(5.90)

Между критериями Нуссельта, Архимеда и Прандтля для случая обтекания сферических твердых частиц жидкостью существует следующая связь: при 0 < Re < I

Nu = 0.411Ar^1/3Pr^1/3;
(5.91)
при 1 << Re < 300

Nu = 0.409 Ar^1/3Pr^1/3.
(5.92)

Таким образом, коэффициенты массопередачи для процесса растворения порошкообразных частиц в жидкой фазе можно вычислить по уравнению

(5.93)

Как видим, в пределах 0 < Re < 300 (5.93) ?? не зависит от размера частицы.

В случае использования для обработки металла или шлака сравнительно крупных частиц (например, растворение в шлаке обычной или сортированной извести), т. е. при Re > 500 применяются следующие уравнения:

Nu = 1,06 (Ar)^1/4 (Pr)^1/3 ;
(5.94)

(5.95)

Из уравнения (5.95) видно, что ? зависит от размера частицы при Re > 500 и непрерывно увеличивается по мере ее растворения. Для ориентировочной оценки времени растворения твердых частиц различных материалов в металле или шлаке сталеплавильной ванны нами рассчитаны значения ?, отвечающие определенным физическим свойствам веществ и размерам частиц (табл. 4).

Таблица. 4. Коэффициент массопередачи при растворении твердых сферических частиц в стали или в шлаке

При постоянных значениях ? и концентрации раствора линейная скорость растворения частицы постоянна и может быть рассчитана по формуле (5.43). В этом случае время растворения сферической частицы

(5.96)
где r_нач и r_кон — начальный и конечный радиусы частицы.

На основе уравнения (5.96) можно рассчитать время полного растворения твердых частиц в металле и шлаке при r_кон = 0. Так, при растворении графита в жидкой стали ([% С]_нас = 5,0; [% С] = 1,0; ? = 0,05 см/с; [% С]_ТВ = 95; ?_ТВ = 2,2 г/см³; ?_ж = 7,0 г/см³) время полного растворения частицы диаметром 0,1 мм (r_нач = 0,5 х 10^–2 см) составляет 0,74 с. При наводке шлака известью [(% CaO) = 35; (% СаО)_нас = 55; ? = 0,003 см/с; (% СаО)_ТВ = 90; ?_ТВ = 2,5 г/см³; ?_ж = 3,5 г/см³; r_нач = 5 • 10^–3 см] частица растворяется полностью за 3,26 с.

Время полного растворения кусковых материалов на три порядка больше, чем порошкообразных частиц. Так, при r_нач = 2—5 см и указанных выше других параметрах время полного растворения графита в стали составит 4,9—12,3 мин, а извести в шлаке — 21,8—54,4 мин.

Для более точных расчетов необходимо учитывать изменение во времени концентрации раствора (уменьшение С_нас — С) и зависимость ? от диаметра частицы (при Re > 500 и d > 1 мм).

Даже при постоянном значении ? и одинаковом начальном размере частиц дифференциальные уравнения, составленные для расчета массовой и линейной скоростей растворения, относительно сложны.

Если предположить, что в уравнении (5.42) концентрация вещества E в жидкой фазе [ % Е] и суммарная поверхность частиц S₂ переменные величины, то в любой момент ?

(5.97)

(5.98)
где общее число частиц

(5.99)
V_{i, нач} и d_нач — объем и диаметр одной частицы в начале процесса; [% Е]_нач и [% Е]_ТВ —концентрация вещества E в жидкой фазе в начале процесса и в твердых частицах, мас.%; М_ж.нач и М_нач —масса жидкой и твердой фазы в начале процесса, кг; M — масса твердой фазы в момент ?, кг; К_? = S/V^2/3 (для шара K_? = 4,8) — коэффициент формы твердой частицы.

Подставив выражения (5.97), (5.98) и (5.99) в формулу (5.42), получим сложное дифференциальное уравнение, которое можно решить методом конечных разностей с помощью ЭВМ:

(5.100)
где.

На основе этого уравнения строятся кривые изменения во времени массы твердого тела М, массы растворившейся его части M_нач — M и концентрации вещества в растворе [% Е].

Расчеты по уравнению (5.100) показали, что при большой массе вводимых в ванну твердых материалов время их полного растворения ? (графита в стали, извести в шлаке) значительнее, чем частиц, общая масса которых невелика. Это обусловлено тем, что в первом случае резко уменьшается во времени диффузионный перепад концентрации (? [% Е] = [% Е]_нас — [% E]). При прочих равных условиях время полного растворения кусковых материалов на два-три порядка больше, чем порошкообразных.

При анализе кинетики растворения извести в шлаке следует учесть, что скорость процесса зависит не только от разности концентраций окиси кальция в пограничном слое известь —шлак, но и от коэффициента массопередачи, величина которого, по данным исследований В. И. Баптизманского и сотрудников, в значительной мере обусловлена составом шлака (может расти с увеличением в определенных пределах основности шлака). В результате скорость растворения извести может увеличиваться (при определенном росте содержания окиси кальция в шлаке), несмотря на уменьшение перепада концентраций ?(CaO) = (% СаО)_нас — (% CaO).