Количество опытов, проведение которых особенно сложно в условиях сталеплавильных агрегатов, где процессы протекают при высоких температурах, может быть значительно уменьшено в результате применения усовершенствованной методики обобщения экспериментальных данных. Так, например, данные опытов на малой холодной модели используют для вычисления показателей процессов в большом высокотемпературном реакторе (агрегате), а результаты опытов с одним веществом — для прогнозирования хода процессов с участием другого вещества. Более того, данные опытов по изучению теплопередачи можно использовать для расчетов массопередачи и наоборот.

Способы такого обобщения экспериментальных данных основаны на теории подобия. Главным ее положением является отсутствие зависимости любой реальной закономерности в природе от выбора системы физических величин. Поэтому всякая закономерность может быть представлена и описана в виде зависимости между безразмерными величинами, которые называются критериями подобия. Если определяющие критерии подобия на модели и объекте одинаковы, экспериментально найденную зависимость между критериями можно применять для расчета любых процессов, совершаемых в тех же геометрических и физических условиях, но при других размерах, скоростях, физических свойствах вещества и т. д. Дополнительным преимуществом использования критериев подобия является возможность получения на модели достаточно надежных зависимостей при минимальном количестве экспериментов.

Законы подобия, позволяющие осуществлять моделирование процессов, можно сформулировать, пользуясь теорией размерностей. В ее основу положено требование совпадения размерности обеих частей равенств, выражающих связь между физическими величинами (или, что более целесообразно, наличие в обеих частях указанных равенств безразмерных комплексов).

При решении конкретных задач посредством теории размерностей необходимо в первую очередь определить число независимых безразмерных комплексов и выбрать их. Согласно так называемой П-теореме их число равняется количеству рассматриваемых величин за вычетом использованных элементарных размерностей (длина, время, масса). Установление критериев подобия для данного конкретного процесса на основе теории размерностей детально описано в учебниках по физической химии.

Ниже приведены безразмерные комплексы (критерии подобия), применяемые при моделировании тепло- и массообменных процессов.

Тепловой критерий Нуссельта

(5.52)
где ? — коэффициент теплопередачи, Вт/(м² • К); ? — коэффициент теплопроводности Вт/(м•К); d — характерный размер, м.

Диффузионный критерий Нуссельта

(5.53)
где ? — коэффициент массопереноса (массопередачи), м/с;

D — коэффициент диффузии, м²/с. Этот критерий часто называют критерием Шервуда (обозначается Sh).

В случае развитой турбулентности более удобны тепловой и диффузионный (иногда его называют критерием Маргулиса, Mg) критерии Стэнтона:

(5.54)

(5.55)
где U — линейная скорость потока жидкости или газа, м/с; C_p — теплоемкость жидкости или газа, Дж/(кг • К); ? — плотность жидкости или газа, кг/м³.

В соответствии с теорией подобия критерии Nu и St для тел данной геометрической формы должны быть функциями других безразмерных величин (критериев), выражающих физические свойства среды и характер движения жидкости или газа.

Физические свойства среды, в которой происходит тепло- или массообмен, характеризуются тепловым и диффузионным (иногда его называют критерием Шмидта, Sc) критериями Прандтл я:

(5.56)

(5.57)
где а = ?/C_p? — коэффициент температуропроводности, м²/с; ? = ?/? — кинематическая вязкость, м²/с. У газов ? ? a ? D. Поэтому для газов Pr_? и Рr_д = Sc близки к единице. Для жидкостей критерий Прандтля гораздо больше единицы, так как v >> а; v >> D. Если вязкость жидкости значительна, то тепловой критерий Прандтля может быть больше 100, а диффузионный критерий Прандтля (Шмидта) — больше 10 000.

Характер движения жидкости или газа при вынужденной конвекции определяется критерием Рейнольдса

(5.58)

Природа критерия Рейнольдса чисто гидродинамическая, так как в его выражение входят лишь величины, характеризующие режим движения газа или жидкости. Поэтому Re определяется и обозначается одинаково для процессов теплопередачи и диффузии. При малых значениях Re движение жидкости или газа является ламинарным, при больших (выше определенного значения Re_кp) — турбулентным. Различие между этими режимами особенно резко проявляется при движении жидкости (газа) внутри трубы.

В ламинарном потоке скорость значительно уменьшается по направлению от центральной его части к поверхности. Распределение скоростей по сечению потока отвечает параболическому закону Пуазейля:

(5.59)
где U и U₀ — скорость в данной точке и по оси потока соответственно, м/с; r и R — расстояние от точки потока к оси трубы и радиус трубы соответственно, м (при r = R U =0).

В турбулентном потоке интенсивное перемешивание жидкости или газа обеспечивает образование вихрей и турбулентных пульсаций, в результате чего поток имеет почти постоянную скорость по сечению трубы, и лишь в непосредственной близости к стенке, в так называемом пограничном слое, происходит резкое падение скорости.

В ряде критериев подобия фигурирует линейный размер, выбор которого зависит от гидродинамической обстановки, описываемой так называемой гидродинамической задачей. Различают внешнюю и внутреннюю задачи. Внешняя задача относится к случаю обтекания изолированного тела потоком, общие размеры которого можно считать бесконечными. Роль характерного размера при вычислении критериев подобия играет размер обтекаемого тела. Внутренняя задача — поток в трубе или в канале иной формы. Линейный размер в критериях подобия в этом случае равен диаметру трубы или гидравлическому диаметру канала:

(5.60)
где S и P — соответственно площадь и периметр поперечного сечения канала.

В гидродинамической ситуации, описываемой внешней задачей, переход от ламинарного к турбулентному режиму происходит без скачка. С увеличением Re непрерывно изменяются все критерии, характеризующие тепло- и массопередачу в потоке, в том числе Nu и St. В обстановке, отвечающей внутренней задаче, такой переход осуществляется скачком при определенном критическом значении критерия Рейнольдса. Этот скачок (гидродинамический кризис) наступает в случае движения жидкости или газа в трубе, когда Re = 2100—2300, причем резко, скачком, меняются значения всех критериев, характеризующих тепло- и массопередачу.

Обычно считают, что в сталеплавильной ванне процессы тепло- и массообмена между твердыми частицами, каплями и газовыми пузырьками, с одной стороны, и жидким металлом или шлаком — с другой, относятся к внешней задаче (обтекание тел жидким потоком или движение тел внутри жидкости).

Для определения ? и ? используют уравнения связи между критериями подобия, полученные по результатам холодного моделирования.

В теории подобия доказывается, что в случае вынужденной конвекции критерии Нуссельта и Стэнтона являются функциями критериев Рейнольдса и Прандтля:
Nu = f (Re, Pr);
(5.61)
St = ? (Re, Pr).
(5.62)

Вид этих зависимостей определяют при обработке опытных данных (например, результатов холодного моделирования). Полученное уравнение можно использовать, вычисляя ? и ? для любых процессов, протекающих в подобных геометрических и физических условиях. Разница между расчетами ? и ? лишь в том, что в первом случае в уравнения (5.61) и (5.62) подставляется значение теплового, а во втором — диффузионного критерия Прандтля (Шмидта).

Зная Nu или St и пользуясь выражениями (5.52), (5.53) или (5.54), (5.55), находим

(5.63)

(5.64)

Для процессов свободной конвекции характер движения определяется не критерием Рейнольдса, а критерием Грасг о ф а:

(5.65)
где T — абсолютная температура, К; ?T — разность температур, вызывающая конвекцию. Для указанных процессов

Nu =f (Gr, Pr);
(5.66)

St = ? (Gr, Pr).
(5.67)

Формулы (5.66) и (5.67), так же как и уравнения (5.61) и (5.62), можно использовать для расчета ? и ?.

По данным многих исследований, обобщенным Д. А. Франк-Каменецким, для ламинарного потока в случае внутренней задачи Nu слабо зависит от Re и на достаточно большом расстоянии от начала трубы является постоянной величиной, аналитически рассчитанной Нуссельтом (Nu = 3,659).

Локальное значение Nu на расстоянии l от начала трубы в соответствии с законом Левека можно определить по следующей формуле:

(5.68)
где d — диаметр трубы; Рr_д = Sc = v/D — диффузионный критерий Прандтля (Шмидта); Рr_т = v/a — тепловой критерий Прандтля; а = ?/C_p? — температуропроводность; Pe — критерий Пекле;

(5.69)

Формула Левека (5.68) справедлива при относительно малом расстоянии точки потока от начала трубы, т. е. когда Pe d/l > 50. Если Pe d/l < 1, то Nu =3,659.

Для турбулентного потока в случае внутренней задачи критерий Нуссельта пропорционален критерию Рейнольдса в степени, близкой к единице:

Nu = 0,024Re^0.8 Pr^0.35.(5.70)

При обтекании тела потоком (внешняя задача) зависимость между критериями подобия в значительной мере обусловлена формой обтекаемого тела, степенью турбулизации потока и другими его характеристиками. В этом случае

Nu = k Re^mPrⁿ.(5.71)

В турбулентном потоке m = 0,4—0,67; n = 0,3—0,4; k = 0,5—0,6 в зависимости от формы обтекаемого тела и степени турбулизации потока. Учитывая последнюю, данные холодного моделирования можно использовать для расчета ? и ? в реальном реакторе (агрегате) лишь при примерном равенстве

Re_м = Re_об; Pr_м = Pr_об,(5.72)
где индексы «м» и «об» соответствуют значениям критериев в модели и на объекте.

Для шара при малых величинах Re (меньше 200)

Nu = 2,0 + 0,08 Re^2/3Рr^1/3.(5.73)

В неподвижной среде или при Re << 1 для шара

(5.74)

Интересно, что в этом случае толщина пограничного теплового или диффузионной слоя равна радиусу шара. Действительно, согласно уравнению (5.74) ? = 2D/d = 2D/2r = D/r. Учитывая, что ? = D/?_д, получаем ?_д = r. Для случая теплообмена ? = 2?/2r = ?/r. Так как ? = ?/?_?, то ?_т = r.

При больших значениях Re (более 200) можно пренебречь первым слагаемым в уравнении (5.73). В этом случае коэффициент k увеличивается, а показатель степени m в формуле (5.71) уменьшается по сравнению с их значениями в случае внутренней задачи (5.70). Так, по данным Д. И. Вырубова, при обтекании шара газовым потоком (Pr = 1) и Re > 200

Nu = 0,54 Re^0•5.(5.75)

Таким образом, многочисленные исследования показывают, что в уравнениях типа (5.71) при турбулентном потоке газа или жидкости для внутренней задачи k ? 0,025, m ? 0,8, n ? 0,35; для внешней — k ? 0,55, m ? 0,5, n ? 0,35.

Эксперименты на холодных моделях выполняются сравнительно легко. Главная задача экспериментатора — установить решающие критерии, влияющие на скорость процесса, и выявить количественную взаимосвязь между ними и критерием Нуссельта (Шмидта). Наиболее трудно экспериментатору обеспечить равенства решающих критериев в модели и натуре, например равенства критерия Прандтля (Шервуда) в воде и жидкой стали. Это обусловлено тем, что кинематическая вязкость воды на один порядок больше, а коэффициент диффузии в воде на один-два порядка меньше, чем в жидкой стали.

Для обеспечения равенства Re = Ud/v в модели и объекте (реальном агрегате) необходимо, учитывая относительно малые размеры моделей и исследуемых тел, значительно увеличить скорости потоков и уменьшить кинематическую вязкость газов или жидкостей в моделях по сравнению с этими параметрами в промышленных агрегатах. В ряде случаев размер модели должен равняться размеру агрегата или даже превосходить его. Такой недостаток во многом компенсируется удобствами проведения экспериментов при комнатной температуре.

К преимуществам холодного моделирования следует отнести также наглядность экспериментов, возможность фотографирования ряда явлений, проведения замедленных и ускоренных кинематографических съемок.