Автор и сотрудники разработали математическую модель процесса диффузионного плавления куска лома цилиндрической формы.

Расчет стадий намораживания расплава и растворения намерзшей корки представляет собой решение методом конечных разностей задачи нестационарной теплопроводности с граничными условиями первого рода. При этом учитывали изменение во времени радиуса образца. Стадии разбивали на малые промежутки времени ??, в течение которых размеры образца лома считали постоянными. По графику Л. В. Лыкова определяли среднюю относительную избыточную температуру в цилиндре:

(13.15)
где t_пов — температура на поверхности цилиндра (во время намораживания — солидуса расплава; во время плавления корки — ликвидуса расплава);— средняя температура в начале и конце интервала времени ??; а — температуропроводность образца; Fo — критерий Фурье; r_нач — радиус образца в начале интервала времени ??.

Для граничных условий первого рода при нагреве неограниченного цилиндра величинуможно вычислить аналитически по формуле

(13.16)
где?_n (?₁ = 2,4048; ?₂ = 5,5201; ?₃ = 8,6537; ?₄ = ?₃ + ? и т. д.)— корни характеристического уравнения J₀? = 0 для решения задачи нестационарной теплопроводности; J₀ — функция Бесселя нулевого порядка. Ряд (13.16) почти сходится при использовании первых трех — пяти слагаемых.

Определивна основе уравнения (13.15) находим осредненную температуру образца:

(13.17)

Затраченное на нагрев образца тепло (внутренний тепловой поток) определя ется по выражению

(13.18)
где h — высота образца;— теплоемкость лома.

Поступившее от расплава тепло (внешний тепловой поток) находится следующим образом:

Q_вн = ? (t_ж — t_пов) 2?r_начh??.
(13.19)

Выделившееся при намораживании или поглощенное в процессе плавления корки расплава тепло рассчитывается так:

(13.20)
где ?m — масса намороженного слоя. Если ?Q > 0; ?m > 0, происходит намораживание расплава, а при ?Q < 0; ?m < 0 намороженная корка плавится:

(13.21)

Вычислив по уравнению (13.21) величину ?m, определяем радиус цилиндра в конце интервала времени ??:

(13.22)

Средняя температура цилиндра в конце интервала ?? с учетом температуры намороженного слоя определяется следующим образом:

(13.23)

Для следующего интервала времени конечные значения параметров предыдущего принимаются в качестве начальных:

(13.24)

По мере приближения к t_пов и уменьшения в связи с этим Q_внутр можно увеличивать ?? без ущерба для точности расчетов.

При расчете третьей стадии процесса учитываем, что после полного расплавления намороженной корки лом будет плавиться лишь в случае, когда в жидкой фазе имеются градиенты температуры и концентрации углерода. Как отмечалось выше, это достигается некоторым снижением [% С]_пов и повышением t_пов по сравнению с состоянием поверхностного слоя расплава во время плавления корки (на рис. 84 точка f перемещается в точку d).

Необходимую конечную температуру поверхностного слоя расплава и твердого цилиндра определяем совместным решением уравнений (13.8) — (13.10).

Продолжительность третьей стадии находим в результате решения задачи теплопроводности с граничными условиями третьего рода:

(13.25)

Для неограниченного цилиндра при заданном значении можно найти критерий Фурье Fo (безразмерное время), используя графики Л. В. Лыкова или уравнение

(13.26)
где

(13.27)

(13.28)
— критерий БиО; ?_n — корни характеристического уравнения

(13.29)
t_{пов.кон} — температура поверхности образца к концу третьей стадии; t_нач — средняя температура образца в начале третьей стадии; J₀ и J₁ — функции Бесселя первого рода нулевого и первого порядков.

По уравнению (13.26) определяем критерий Fo и необходимое время дополнительного прогрева цилиндра (продолжительность третьей стадии):

(13.30)

Расчет четвертой стадии процесса основан на совместном решении уравнений (13.8) — (13.10), что позволяет определить линейную скорость плавления v_x и продолжительность четвертой стадии

(13.31)

Результаты экспериментов и выполненных на ЭЦВМ расчетов по описанной выше математической модели приведены на рис. 83. Для расчетов были приняты следующие значения ? и ?:

Сходимость опытных и полученных по приведенной выше математической модели расчетных данных удовлетворительная (рис. 83). По этой же модели определена длительность плавления стального цилиндра диаметром 200 мм в конверторной и мартеновской ванне. Результаты расчетов близки к реальным (табл. 9).

Таблица 9 Результаты расчета длительности плавления стального цилиндра диаметром 200 мм в железоуглеродистом расплаве ([% С]_ж = 3,0%; t_ж = 1400° С)

Следует отметить, что применительно к производственным условиям необходимы более сложные математические модели (алгоритмы), в которых учитываются изменение содержания углерода в ванне и ее температуры по ходу плавки, а также теплосодержание подогретого лома до начала его контакта с жидким чугуном (например, в периоды завалки и прогрева твердой шихты в мартеновской плавке). Использовать подобные модели можно лишь с помощью ЭЦВМ.

Японские исследователи Мори Кадзуми и Номура Хироюки составили интересную математическую модель процесса плавления лома в конверторной ванне. Расчетами установлено, что при замедленном подъеме температуры ванны в начале продувки средняя линейная скорость плавления лома может снизиться примерно в 1,5 раза по сравнению со случаем, когда температура повышается равномерно по ходу всей плавки. Определенный интерес представляет зависимость периода нахождения затвердевшего чугуна на поверхности лома от начальной температуры последнего и коэффициента теплоотдачи ? (рис. 87). Даже при заниженных значениях ? [2,10—6,3 кВт/(м² • К)] предварительный нагрев лома до 500—1000° С сокращает время существования намороженного слоя на один-два порядка. Этим можно объяснить значительность доли расплавленного лома в начале периода плавления шихты в мартеновской печи (после окончания слива чугуна).

Рис. 87. Влияние начальной температуры лома t_{лом.нач} (цифры у кривых) и коэффициента теплоотдачи ? на время нахождения затвердевшего чугуна на поверхности лома ?_з.ч